Question 3

Énoncé

Soit  \(\text{exp}\) la fonction définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que :  \(\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}\)

Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.

Question 3. Exponentielle de l'opposé et d'une différence
    a. Soit  \(x\)  réel. Rappeler la valeur de  \(\exp(0)\)  et en déduire la valeur de  \(\exp(-x)\)  en fonction de  \(\exp(x)\) . 
    b. Soit   \(x\)  et  \(y\)  deux réels. Que vaut  \(\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\) ? 
    c. Soit  \(x\)  réel. Exprimer  \(\exp(2x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\) , puis  \(\text{exp}(3x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\)   puis  \(\text{exp}(4x)\) en fonction de  \(\text{exp}(x)\) . Conjecturer une propriété permettant de calculer \(\exp(nx)\)  pour tout \(n\)  entier naturel.